The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__zeros → cons(0, zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0) → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0) → 0
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
a__U41(tt, cons(0, V2328_4)) →⁺ a__U42(a__U41(tt, V2328_4))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [V2328_4 / cons(0, V2328_4)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U41, a__isNatIList, a__U51, a__isNatList, a__U61, a__U62, a__isNat, a__length, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatList < a__isNatIList
a__isNat < a__isNatIList
a__isNatIList < mark
a__U51 = a__isNatList
a__U51 = a__isNat
a__U51 < mark
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList < a__length
a__isNatList < mark
a__U61 = a__U62
a__isNat < a__U61
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__isNat < mark
a__length = mark

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatList, a__U41, a__isNatIList, a__U51, a__U61, a__U62, a__isNat, a__length, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatList < a__isNatIList
a__isNat < a__isNatIList
a__isNatIList < mark
a__U51 = a__isNatList
a__U51 = a__isNat
a__U51 < mark
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList < a__length
a__isNatList < mark
a__U61 = a__U62
a__isNat < a__U61
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__isNat < mark
a__length = mark

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatList.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U51, a__U41, a__isNatIList, a__U61, a__U62, a__isNat, a__length, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatList < a__isNatIList
a__isNat < a__isNatIList
a__isNatIList < mark
a__U51 = a__isNatList
a__U51 = a__isNat
a__U51 < mark
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList < a__length
a__isNatList < mark
a__U61 = a__U62
a__isNat < a__U61
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__isNat < mark
a__length = mark

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U51.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__U41, a__isNatIList, a__U61, a__U62, a__length, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatList < a__isNatIList
a__isNat < a__isNatIList
a__isNatIList < mark
a__U51 = a__isNatList
a__U51 = a__isNat
a__U51 < mark
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList < a__length
a__isNatList < mark
a__U61 = a__U62
a__isNat < a__U61
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__isNat < mark
a__length = mark

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNat.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatIList, a__U41, a__U61, a__U62, a__length, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatIList < mark
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatIList.

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U41, a__U61, a__U62, a__length, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatIList < mark
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark

(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U41.

(18) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U62, a__U61, a__length, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark

(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U62.

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U61, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U61, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark

(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U61.

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n322₀)

Induction Base:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0)) →_R^Ω(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(n322_0, 1))) →_R^Ω(1)
cons(mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)), 0') →_IH
cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(c323_0), 0')

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(26) Complex Obligation (BEST)

(27) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n322₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U62, a__U61, a__length

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark

(28) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U62.

(29) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n322₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U61

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark

(30) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.

(31) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n322₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U61

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark

(32) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U61.

(33) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n322₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

No more defined symbols left to analyse.

(34) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n322₀)

(35) BOUNDS(n^1, INF)

(36) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n322₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')

No more defined symbols left to analyse.

(37) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n322₀)

(38) BOUNDS(n^1, INF)